Csonka piramis. Piramis. Csonka gúla Egy csonka háromszög alakú piramis területe

Csonka piramis egy olyan poliéder, amelynek csúcsai az alap csúcsai és az alappal párhuzamos sík szerinti metszetének csúcsai.

A csonka piramis tulajdonságai:

• A csonka piramis alapjai hasonló sokszögek.
• A csonka gúla oldallapjai trapéz alakúak.
• A szabályos csonka gúla oldalsó élei egyenlőek és egyenlően hajlanak a gúla alapjához.
• A szabályos csonka gúla oldallapjai egyenlő egyenlő szárú trapézok, és egyformán dőlnek a gúla alapjához.
• A szabályos csonka gúla oldalsó élein lévő kétszögek egyenlőek.

Csonka gúla felülete és térfogata

Legyen a csonka gúla magassága, és legyen a csonka gúla alapjainak kerülete, és legyen a csonka gúla alapjainak területe, legyen a csonka gúla oldalfelületének területe, legyen a területe a csonka gúla teljes felületéből, és legyen a csonka gúla térfogata. Ekkor a következő összefüggések állnak fenn:

.

Ha egy csonka gúla alapjában minden kétszög egyenlő, és a gúla minden oldallapjának magassága egyenlő, akkor

A HA13118 egy AB osztályú erősítő, minimális számú külső elemet tartalmaz, és nagy teljesítményű, viszonylag alacsony tápfeszültség mellett, az erősítő szintén nagy, 55 dB-es erősítéssel rendelkezik, amely lehetővé teszi a jel előzetes erősítését. Alapvető specifikációk: Kimeneti teljesítmény 18 W (maximum) 4 ohmos terhelésnél 10 W ...

A térbeli alakzatok térfogatának kiszámításának képessége fontos számos geometriai gyakorlati probléma megoldása során. Az egyik leggyakoribb figura a piramis. Ebben a cikkben a teljes és a csonka piramisokat is megvizsgáljuk.

Piramis mint háromdimenziós figura

Mindenki tud kb egyiptomi piramisok, tehát van egy jó ötlete arról, hogy milyen alakról fogunk beszélni. Azonban az egyiptomi kő szerkezetek csak egy speciális esete a piramisok hatalmas osztályának.

A vizsgált geometriai objektum általános esetben egy sokszögű alap, amelynek minden csúcsa egy adott térbeli ponthoz kapcsolódik, amely nem tartozik az alap síkjához. Ez a meghatározás egy n-szögből és n háromszögből álló ábrához vezet.

Bármely piramis n+1 lapból, 2*n élből és n+1 csúcsból áll. Mivel a szóban forgó ábra egy tökéletes poliéder, a jelölt elemek száma engedelmeskedik az Euler-egyenlőségnek:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Az alján található sokszög adja a piramis nevét, például háromszög, ötszög stb. Az alábbi képen különböző alapokkal rendelkező piramisok készlete látható.

Azt a pontot, ahol egy ábra n háromszöge találkozik, a piramis csúcsának nevezzük. Ha egy merőlegest leeresztünk róla az alapra, és a geometriai középpontban metszi, akkor egy ilyen alakot egyenesnek nevezünk. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor ferde piramis jön létre.

Szabályosnak nevezzük azt a derékszögű alakzatot, amelynek alapját egy egyenlő oldalú (egyenszögű) n-szög alkotja.

A piramis térfogatának képlete

A piramis térfogatának kiszámításához integrálszámítást használunk. Ehhez az ábrát az alappal párhuzamos síkok végtelen számú vékony rétegre vágásával osztjuk fel. Az alábbi ábrán egy h magasságú és L oldalhosszúságú négyszög alakú gúla látható, amelyben a négyszög a metszet vékony rétegét jelöli.

Az egyes rétegek területe a következő képlettel számítható ki:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Itt A 0 az alap területe, z a függőleges koordináta értéke. Látható, hogy ha z = 0, akkor a képlet A 0 értéket ad.

A piramis térfogatának képletének megszerzéséhez ki kell számítania az integrált az ábra teljes magasságára, azaz:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Az A(z) függőséget behelyettesítve és az antiderivatívát kiszámítva a következő kifejezéshez jutunk:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

Megkaptuk a piramis térfogatának képletét. A V értékének meghatározásához csak szorozza meg az ábra magasságát az alap területével, majd ossza el az eredményt hárommal.

Vegye figyelembe, hogy a kapott kifejezés bármilyen típusú piramis térfogatának kiszámítására érvényes. Vagyis ferde lehet, alapja pedig tetszőleges n-szög lehet.

és a térfogata

A fenti bekezdésben kapott általános térfogati képlet szabályos alappal rendelkező gúla esetén finomítható. Az ilyen alap területét a következő képlettel számítják ki:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Itt L egy n csúcsú szabályos sokszög oldalhossza. A pi szimbólum a pi szám.

Az A 0 kifejezést behelyettesítve az általános képletbe, megkapjuk egy szabályos piramis térfogatát:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Például egy háromszög alakú piramis esetében ez a képlet a következő kifejezést eredményezi:

V 3 = 3/12*L 2 *ó*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *ó.

Egy szabályos négyszög alakú piramis esetében a térfogatképlet a következőképpen alakul:

V 4 = 4/12*L 2 *ó*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *ó.

A szabályos piramisok térfogatának meghatározásához alapjuk oldalának és az ábra magasságának ismerete szükséges.

Csonka piramis

Tegyük fel, hogy vettünk egy tetszőleges piramist, és levágtuk a csúcsot tartalmazó oldalfelületének egy részét. A fennmaradó alakot csonka piramisnak nevezzük. Már két n-szögű alapból és n trapézből áll, amelyek összekötik őket. Ha a vágási sík párhuzamos volt az ábra alapjával, akkor egy csonka gúlát képezünk hasonló párhuzamos alapokkal. Vagyis az egyik oldalának hosszát úgy kaphatjuk meg, hogy a másik oldalának hosszát megszorozzuk egy bizonyos k együtthatóval.

A fenti ábrán egy csonka szabályos látható, hogy a felső alapját az alsóhoz hasonlóan szabályos hatszög alkotja.

A fentihez hasonló integrálszámítással levezethető képlet a következő:

V = 1/3*ó*(A 0 + A 1 + √(A 0 * A 1)).

Ahol A 0 és A 1 az alsó (nagy) és felső (kis) bázis területei. A h változó a csonka gúla magasságát jelöli.

A Kheopsz piramis térfogata

Érdekes megoldani a legnagyobb egyiptomi piramis belsejében lévő térfogat meghatározásának problémáját.

1984-ben Mark Lehner és Jon Goodman brit egyiptológusok meghatározták a Kheopsz-piramis pontos méreteit. Eredeti magassága 146,50 méter volt (jelenleg körülbelül 137 méter). Az építmény mind a négy oldalának átlagos hossza 230,363 méter volt. A piramis alapja nagy pontossággal négyzet alakú.

Határozzuk meg ennek a kőóriásnak a térfogatát a megadott számadatokkal. Mivel a piramis szabályos négyszögletes, ezért a képlet érvényes rá:

A számokat behelyettesítve a következőket kapjuk:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

A Kheopsz-piramis térfogata közel 2,6 millió m3. Összehasonlításképpen megjegyezzük, hogy az olimpiai uszoda térfogata 2,5 ezer m 3. Vagyis a teljes Kheopsz-piramis kitöltéséhez több mint 1000 ilyen medencére lesz szüksége!

A piramis olyan poliéder, amelynek alapját egy tetszőleges sokszög ábrázolja, a többi lapja pedig háromszög közös felső, ami a piramis csúcsának felel meg.
Ha a piramis alapjával párhuzamos metszetet rajzol, az az ábrát két részre osztja. Az alsó alap és a szakasz közötti, élekkel határolt teret ún csonka piramis.

A csonka gúla térfogatának képlete a felső és alsó alapok magasságának és területeinek összegének szorzatának egyharmada, ezek átlagos arányával:

Tekintsünk egy példát egy csonka piramis térfogatának kiszámítására.

Probléma: Adott egy háromszög alakú csonka gúla. Magassága h = 10 cm, az egyik alap oldalai a = 27 cm, b = 29 cm, c = 52 cm A második alap kerülete P2 = 72 cm. Határozza meg a gúla térfogatát!

A térfogat kiszámításához szükségünk van az alapok területére. Egy háromszög oldalainak hosszának ismeretében kiszámíthatjuk a >-t. Ehhez meg kell találnia a fél kerületet:


Most keressük meg az S2-t:


Tudva, hogy a piramis csonka, arra a következtetésre jutunk, hogy az alapokon fekvő háromszögek hasonlóak. E háromszögek hasonlósági együtthatója a kerületek arányából adódik. A háromszögek területének aránya ennek az együtthatónak a négyzetével lesz egyenlő:



Most, hogy megtaláltuk a csonka piramis alapjainak területét, könnyen kiszámíthatjuk a térfogatát:

Így a hasonlósági együttható kiszámításával és az alapok területének kiszámításával megtaláltuk egy adott csonka piramis térfogatát.

és egy vágási sík, amely párhuzamos az alapjával.

Vagy más szóval: csonka piramis- ez egy poliéder, amelyet egy gúla alkot, és az alappal párhuzamos keresztmetszete.

A gúla alapjával párhuzamos szakasz a piramist 2 részre osztja. A piramis alapja és keresztmetszete közötti része az csonka piramis.

Ez a csonka piramis szakasza ennek a piramisnak az egyik alapja.

A csonka gúla alapjai közötti távolság a csonka piramis magassága.

A csonka piramis az lesz helyes, amikor az a piramis is helyes volt, amelyből származott.

Szabályos csonka gúla oldallapjának trapéz magassága a apotém szabályos csonka piramis.

A csonka piramis tulajdonságai.

1. A szabályos csonka gúla minden oldallapja azonos méretű egyenlő szárú trapéz.

2. A csonka gúla alapjai hasonló sokszögek.

3. Egy szabályos csonka gúla oldalsó élei egyenlő méretűek, és az egyik ferde a gúla alapjához képest.

4. A csonka gúla oldallapjai trapéz alakúak.

5. A szabályos csonka gúla oldalélein lévő kétszögek egyenlő nagyságúak.

6. A bázisterületek aránya: S 2 /S 1 = k 2.

A csonka piramis képletei.

Egy tetszőleges piramishoz:

Egy csonka gúla térfogata egyenlő a magasság szorzatának 1/3-ával h (OS) a felső alap területeinek összegével S 1 (abcde), a csonka gúla alsó alapja S 2 (ABCDE) és a közöttük arányos átlag.

Piramis térfogata:

Ahol S 1, S 2- alapterület,

h— a csonka piramis magassága.

Oldalsó felület egyenlő a csonka gúla oldallapjainak területeinek összegével.

Szabályos csonka piramis esetén:

Szabályos csonka piramis- poliéder, amelyet szabályos gúla és annak alappal párhuzamos szakasza alkot.

Egy szabályos csonka gúla oldalfelületének területe egyenlő az alapjai kerülete és az apotém összegének ½ szorzatával.

Ahol S 1, S 2- alapterület,

φ - diéderszög a piramis alján.

CH a csonka piramis magassága, P 1És P2- az alapok kerülete, S 1És S 2- alapterületek, S oldal- oldalsó felület, S tele— teljes felület:

A gúla alapjával párhuzamos sík metszete.

A gúlának az alapjával párhuzamos (a magasságra merőleges) sík metszete, amely a gúla magasságát és oldaléleit arányos szegmensekre osztja.

A piramis alapjával párhuzamos (magasságára merőleges) sík metszete egy olyan sokszög, amely hasonló a piramis alapjához, és ezeknek a sokszögeknek a hasonlósági együtthatója megfelel a csúcstól való távolságuk arányának. a piramisról.

A gúla alapjával párhuzamos keresztmetszeti területeket elosztjuk a gúla tetejétől mért távolságuk négyzetével.