Piramis. Csonka piramis. Csonka piramisok Trapéz gúla

Ebben a leckében megnézünk egy csonka piramist, megismerkedünk egy szabályos csonka gúlával, és tanulmányozzuk azok tulajdonságait.

Idézzük fel az n-szögű gúla fogalmát a háromszög alakú piramis példáján. Az ABC háromszög adott. A háromszög síkján kívül veszünk egy P pontot, amely a háromszög csúcsaihoz kapcsolódik. A kapott poliéder felületet piramisnak nevezzük (1. ábra).

Rizs. 1. Háromszög alakú piramis

Vágjuk el a piramist a gúla alapjának síkjával párhuzamos síkkal. Az e síkok között kapott ábrát csonka gúlának nevezzük (2. ábra).

Rizs. 2. Csonka piramis

Alapvető elemek:

Felső alap;

ABC alsó alap;

Oldal arc;

Ha PH az eredeti piramis magassága, akkor ez a csonka gúla magassága.

A csonka piramis tulajdonságai az építési módból, nevezetesen az alapok síkjainak párhuzamosságából adódnak:

A csonka gúla minden oldallapja trapéz. Vegyük például az élt. Megvan a párhuzamos síkok tulajdonsága (mivel a síkok párhuzamosak, párhuzamos egyenesek mentén vágják az eredeti AVR piramis oldallapját), ugyanakkor nem párhuzamosak. Nyilvánvaló, hogy a négyszög trapéz, mint a csonka gúla összes oldallapja.

Az alapok aránya minden trapéznál azonos:

Több pár hasonló háromszögünk van azonos hasonlósági együtthatóval. Például a háromszögek és a RAB hasonlóak a síkok párhuzamossága és a hasonlósági együttható miatt:

Ugyanakkor a háromszögek és az RVS hasonlóak a hasonlósági együtthatóval:

Nyilvánvaló, hogy mindhárom hasonló háromszög pár hasonlósági együtthatója egyenlő, így az alapok aránya minden trapéz esetében azonos.

A szabályos csonka gúla olyan csonka gúla, amelyet egy szabályos gúla alappal párhuzamos síkú vágásával kapunk (3. ábra).

Rizs. 3. Szabályos csonka gúla

Meghatározás.

Egy gúlát szabályosnak nevezünk, ha az alapja szabályos n-szög, és a csúcsa ennek az n-szögnek a középpontjába (a beírt és körülírt kör középpontjába) vetül.

Ebben az esetben van egy négyzet a piramis alján, és a teteje az átlóinak metszéspontjában van kivetítve. Az így kapott szabályos négyszögletű csonka ABCD piramisnak van egy alsó és egy felső alapja. Az eredeti gúla magassága RO, a csonka piramisé (4. ábra).

Rizs. 4. Szabályos négyszögletű csonka gúla

Meghatározás.

A csonka gúla magassága az egyik alap bármely pontjából a második alap síkjára húzott merőleges.

Az eredeti piramis apotémja RM (M az AB közepe), a csonka gúla apotémja (4. ábra).

Meghatározás.

A csonka piramis apotémája bármely oldallap magassága.

Nyilvánvaló, hogy a csonka gúla minden oldaléle egyenlő egymással, vagyis az oldallapok egyenlő egyenlő szárú trapézok.

Egy szabályos csonka gúla oldalfelülete megegyezik az alapok kerülete és az apotém összegének felének szorzatával.

Bizonyítás (egy szabályos négyszögletű csonka gúlára – 4. ábra):

Tehát bizonyítanunk kell:

Az oldalfelület területe itt az oldalfelületek - trapézok - területének összegéből áll. Mivel a trapézok azonosak, a következőket kapjuk:

Az egyenlő szárú trapéz területe az alapok összegének felének és a magasságnak a szorzata a trapéz magasságának. Nekünk van:

Q.E.D.

n-szögű piramis esetén:

Ahol n a gúla oldallapjainak száma, a és b a trapéz alapjai, és az apotéma.

Szabályos csonka négyszög gúla alapjának oldalai egyenlő 3 cm és 9 cm, magasság - 4 cm Keresse meg az oldalfelület területét.

Rizs. 5. Illusztráció az 1. feladathoz

Megoldás. Illusztráljuk a feltételt:

Kérdezte: , ,

Az O ponton keresztül az alsó alap két oldalával párhuzamos MN egyenest húzunk, és hasonlóan a ponton keresztül egyenest (6. ábra). Mivel a csonka gúla alapjainál lévő négyzetek és szerkezetek párhuzamosak, az oldallapokkal megegyező trapézt kapunk. Ezenkívül az oldala áthalad az oldallapok felső és alsó széleinek felezőpontjain, és a csonka piramis apotémája lesz.

Rizs. 6. Kiegészítő konstrukciók

Tekintsük a kapott trapézt (6. ábra). Ebben a trapézben ismert a felső alap, az alsó alap és a magasság. Meg kell találni azt az oldalt, amely egy adott csonka piramis apotémája. Rajzoljunk MN-re merőlegesen. A pontból leeresztjük a merőleges NQ-t. Azt találjuk, hogy a nagyobb alap három centiméteres szegmensekre van osztva (). Tekintsünk derékszögű háromszöget, a benne lévő lábak ismertek, ez egy egyiptomi háromszög, a Pitagorasz-tétel segítségével meghatározzuk a hipotenusz hosszát: 5 cm.

Most minden elem megvan a piramis oldalfelületének meghatározásához:

A piramist az alappal párhuzamos sík metszi. Egy háromszög alakú gúla példáján bizonyítsuk be, hogy a gúla oldaléleit és magasságát ez a sík arányos részekre osztja.

Bizonyíték. Illusztráljuk:

Rizs. 7. Illusztráció a 2. feladathoz

Adott a RABC piramis. PO - a piramis magassága. A piramist egy síkkal elvágjuk, egy csonka gúlát kapunk, és. Pont - az RO magasságának metszéspontja a csonka gúla alapjának síkjával. Be kell bizonyítani:

A megoldás kulcsa a párhuzamos síkok tulajdonsága. Két párhuzamos sík metszi bármely harmadik síkot úgy, hogy a metszésvonalak párhuzamosak legyenek. Innen: . A megfelelő vonalak párhuzamossága négy pár hasonló háromszög jelenlétét jelenti:

A háromszögek hasonlóságából következik a megfelelő oldalak arányossága. Fontos jellemzője, hogy ezeknek a háromszögeknek a hasonlósági együtthatói megegyeznek:

Q.E.D.

Helyes háromszög alakú piramis Az alap magasságával és oldalával rendelkező RABC-t az ABC alapjával párhuzamosan a PH magasságának közepén átmenő sík vágja. Keresse meg a kapott csonka piramis oldalfelületét.

Megoldás. Illusztráljuk:

Rizs. 8. Illusztráció a 3. feladathoz

Az ACB szabályos háromszög, H ennek a háromszögnek a középpontja (a beírt és körülírt körök középpontja). Az RM egy adott piramis apotémája. - egy csonka piramis apotémája. A párhuzamos síkok tulajdonsága szerint (két párhuzamos sík tetszőleges harmadik síkot úgy vág el, hogy a metszésvonalak párhuzamosak legyenek) több pár hasonló háromszögünk van, amelyek azonos hasonlósági együtthatóval rendelkeznek. Különösen érdekel minket a kapcsolat:

Keressük NM-et. Ez az alapba írt kör sugara, ismerjük a megfelelő képletet:

Most a PHM derékszögű háromszögből a Pitagorasz-tételt használva megtaláljuk az RM-et - az eredeti piramis apotémáját:

A kezdeti arányból:

Most már ismerjük az összes elemet a csonka piramis oldalsó felületének meghatározásához:

Tehát megismerkedtünk a csonka gúla és a szabályos csonka gúla fogalmával, megadtuk az alapvető definíciókat, megvizsgáltuk a tulajdonságokat, és bebizonyítottuk az oldalfelület területére vonatkozó tételt. A következő leckében a problémamegoldás lesz a hangsúly.

Bibliográfia

1. I. M. Szmirnova, V. A. Szmirnov. Geometria. 10-11. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára (alap- és szakirányú szint) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. kiadás, rev. és további - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Sharygin I.F. Geometry. 10-11 évfolyam: Tankönyv az általános műveltséghez oktatási intézmények/ Sharygin I.F. - M.: Túzok, 1999. - 208 p.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometria. 10. évfolyam: Tankönyv általános oktatási intézmények számára a matematika elmélyült és szakirányú tanulmányozásával /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. kiadás, sztereotípia. - M.: Túzok, 2008. - 233 p.: ill.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.expponenta.ru ().

Házi feladat

Feladat

Megoldás.

A piramis alján egy derékszögű háromszög található. Egy derékszögű háromszög körülírt körének középpontja a befogóján fekszik. Ennek megfelelően AB = 10 cm, AO = 5 cm.

Mivel az ON magasság = 12 cm, az AN és az NB bordák mérete megegyezik
AN 2 = AO 2 + ON 2
AN 2 = 5 2 + 12 2
AN = √169
AN=13

Mivel ismerjük az AO = OB = 5 cm értéket és az alap egyik lábának méretét (8 cm), akkor a hipotenuszra süllyesztett magasság egyenlő lesz
CB 2 = CO 2 + OB 2
64 = CO 2 + 25
CO 2 = 39
CO = √39

Ennek megfelelően a CN él mérete egyenlő lesz
CN 2 = CO 2 + NO 2
CN 2 = 39 + 144
CN = √183

Válasz: 13, 13 , √183

Feladat

Megoldás.
A piramis térfogatát a következő képlettel találjuk meg:
V = 1/3 Sh

Az alap területét a derékszögű háromszög területének meghatározására szolgáló képlet segítségével találjuk meg:
S = ab/2 = 8 * 6 / 2 = 24
ahol
V = 1/3 * 24 * 10 = 80 cm3.

A geometriai feladatokban gyakran megjelenő háromdimenziós alakzat a piramis. Az ebbe az osztályba tartozó összes forma közül a legegyszerűbb a háromszög. Ebben a cikkben részletesen elemezzük a szabályos háromszög alakú piramis alapvető képleteit és tulajdonságait.

Geometriai ötletek az ábráról

Mielőtt rátérnénk egy szabályos háromszög alakú piramis tulajdonságaira, nézzük meg közelebbről, hogy milyen alakról beszélünk.

Tegyük fel, hogy van egy tetszőleges háromszög a háromdimenziós térben. Válasszunk ki ebben a térben egy olyan pontot, amely nem esik a háromszög síkjába, és kössük össze a háromszög három csúcsával. Van egy háromszög alakú piramisunk.

4 oldala van, amelyek mindegyike háromszög. Azokat a pontokat, ahol három lap találkozik, csúcsoknak nevezzük. A figurán négy is van. Két lap metszésvonalai élek. A szóban forgó piramisnak 6 éle van. Az alábbi ábra egy példát mutat erre az ábrára.

Mivel az ábrát négy oldal alkotja, tetraédernek is nevezik.

Helyes piramis

Fentebb egy tetszőleges, háromszög alappal rendelkező figurát vettünk figyelembe. Most tegyük fel, hogy a piramis tetejétől az aljáig merőleges szakaszt rajzolunk. Ezt a szakaszt magasságnak nevezzük. Nyilvánvalóan 4 különböző magasságot rajzolhatsz a figurához. Ha a magasság metszi a háromszög alapját a geometriai középpontban, akkor az ilyen piramist egyenesnek nevezzük.

Az egyenes piramist, amelynek alapja egy egyenlő oldalú háromszög, szabályosnak nevezzük. Számára az ábra oldalfelületét alkotó három háromszög egyenlő szárú és egyenlő egymással. Egy szabályos piramis speciális esete az a helyzet, amikor mind a négy oldal egyenlő oldalú, azonos háromszög.

Tekintsük egy szabályos háromszög alakú piramis tulajdonságait, és adjuk meg a megfelelő képleteket a paramétereinek kiszámításához.

Alapoldal, magasság, oldalél és apotém

A felsorolt ​​paraméterek közül bármelyik kettő egyértelműen meghatározza a másik két jellemzőt. Mutassunk be képleteket, amelyek ezekre a mennyiségekre vonatkoznak.

Tegyük fel, hogy egy szabályos háromszög alakú gúla alapjának oldala a. Oldalélének hossza b. Mekkora lesz egy szabályos háromszög alakú piramis és apotéma magassága?

A h magasságra a következő kifejezést kapjuk:

h = √(b 2 - a 2 /3)

Ez a képlet a Pitagorasz-tételből következik egy derékszögű háromszögre, amelynek oldalai az oldalél, az alap magassága és magasságának 2/3-a.

A piramis apotémája bármely oldalsó háromszög magassága. Az a b apotém hossza egyenlő:

a b = √(b 2 - a 2 /4)

Ezekből a képletekből világos, hogy bármilyen legyen is egy háromszög alakú szabályos gúla alapjának oldala és oldalélének hossza, az apotém mindig több magasság piramisok.

A bemutatott két képlet tartalmazza a kérdéses ábra mind a négy lineáris karakterisztikáját. Ezért az ismert kettő ismeretében az írott egyenlőségrendszer megoldásával megtalálhatja a többit.

ábra kötet

Abszolút bármely piramis esetében (beleértve a ferde piramist is) az általa korlátozott tértérfogat értéke meghatározható az ábra magasságának és alapterületének ismeretében. A megfelelő képlet a következő:

Ha ezt a kifejezést alkalmazzuk a kérdéses ábrára, a következő képletet kapjuk:

Ahol egy szabályos háromszög alakú gúla magassága h, alapoldala pedig a.

Nem nehéz egy olyan tetraéder térfogatának képletét előállítani, amelyben minden oldal egyenlő egymással és egyenlő oldalú háromszögeket ábrázol. Ebben az esetben az ábra térfogatát a következő képlet határozza meg:

Vagyis az a oldal hossza egyedileg határozza meg.

Felszíni terület

Vizsgáljuk meg továbbra is a szabályos háromszög alakú piramis tulajdonságait. teljes terület Az alakzat összes lapjának felületének nevezzük. Ez utóbbi kényelmesen tanulmányozható a megfelelő fejlesztés figyelembevételével. Az alábbi ábra azt mutatja, hogyan néz ki egy szabályos háromszög alakú piramis kialakulása.

Tegyük fel, hogy ismerjük az ábra h magasságát és az a alapjának oldalát. Ekkor az alapterülete egyenlő lesz:

Minden iskolás megkaphatja ezt a kifejezést, ha emlékszik, hogyan kell megtalálni a háromszög területét, és figyelembe veszi, hogy az egyenlő oldalú háromszög magassága egy felező és egy medián is.

A három egyforma egyenlő szárú háromszög oldalfelülete:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Ez az egyenlőség a piramis apotémjének az alap magasságában és hosszában való kifejezéséből következik.

Az ábra teljes felülete:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Vegye figyelembe, hogy egy olyan tetraéder esetében, amelynek mind a négy oldala azonos egyenlő oldalú háromszög, az S terület egyenlő lesz:

Szabályos csonka háromszöggúla tulajdonságai

Ha a vizsgált háromszög alakú piramis tetejét az alappal párhuzamos síkkal levágjuk, akkor a fennmaradó alsó részt csonka gúlának nevezzük.

Háromszög alappal rendelkező szabályos gúla esetén a leírt metszési módszer eredménye egy új háromszög, amely szintén egyenlő oldalú, de oldalhossza rövidebb, mint az alap oldala. Az alábbiakban egy csonka háromszög alakú piramis látható.

Látjuk, hogy ezt a számot már két háromszög alap és három egyenlőszárú trapéz korlátozza.

Tegyük fel, hogy a kapott ábra magassága egyenlő h-val, az alsó és felső alap oldalainak hossza a 1, illetve a 2, az apotéma (a trapéz magassága) pedig egyenlő a b-vel. Ezután a csonka piramis felülete kiszámítható a következő képlettel:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Itt az első tag az oldalfelület területe, a második tag a háromszög alapok területe.

Az ábra térfogatát a következőképpen számítjuk ki:

V = √3/12*ó*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 * a 2)

A csonka piramis jellemzőinek egyértelmű meghatározásához ismerni kell három paraméterét, amint azt a megadott képletek mutatják.

Szabályos háromszöggúla képletei és tulajdonságai. Csonka háromszög alakú piramis - minden érdekes tény és a tudomány és az oktatás eredményei az oldalon

Hogyan építhetsz piramist? A felszínen R Szerkesszünk egy sokszöget, például az ABCDE ötszöget. Repülőn kívül R Vegyük az S pontot. Ha az S pontot szakaszokkal összekötjük a sokszög minden pontjával, megkapjuk a SABCDE piramist (ábra).

Az S pontot hívják tetejére, és az ABCDE sokszög az alapján ezt a piramist. Így egy gúla tetején S és ABCDE alappal az összes olyan szegmens uniója, ahol M ∈ ABCDE.

A SAB, SBC, SCD, SDE, SEA háromszögeket hívják oldalsó arcok piramisok, az oldallapok közös oldalai SA, SB, SC, SD, SE - oldalsó bordák.

A piramisokat ún háromszög, négyszög, p-szög az alap oldalainak számától függően. ábrán. Három-, négy- és hatszögletű piramisok képei láthatók.

A piramis csúcsán és az alap átlóján áthaladó síkot ún átlós, és az eredményül kapott szakasz az átlós.ábrán. 186 a hatszögletű piramis egyik átlós szakasza árnyékolt.

A gúla tetején keresztül az alapsíkig húzott merőleges szakaszt a gúla magasságának nevezzük (ennek a szakasznak a vége a gúla teteje és a merőleges alapja).

A piramist az ún helyes, ha a gúla alapja szabályos sokszög, és a gúla csúcsa a középpontjába vetül.

A szabályos piramis minden oldallapja egybevágó egyenlő szárú háromszög. Egy szabályos piramisban minden oldalsó él egybevágó.

A csúcsából húzott szabályos gúla oldallapjának magasságát ún apotém piramisok. Egy szabályos piramis minden apotémája egybevágó.

Ha az alap oldalát úgy jelöljük ki A, és az apotém keresztül h, akkor a piramis egyik oldallapjának területe 1/2 ah.

A piramis összes oldallapja területének összegét nevezzük oldalsó felület piramis, és az S oldal jelöli.

Mivel egy szabályos gúla oldalfelülete abból áll n akkor egybevágó arcok

S oldal = 1/2 ahn= P h / 2 ,

ahol P a piramis alapjának kerülete. Ennélfogva,

S oldal = P h / 2

azaz A szabályos gúla oldalfelületének területe megegyezik az alap és az apotém kerülete szorzatának felével.

A piramis teljes felületét a képlet számítja ki

S = S ocn. + S oldal. .

A piramis térfogata megegyezik az alapja S ocn területének szorzatának egyharmadával. H magasságig:

V = 1 / 3 S fő. N.

Ennek és néhány más képletnek a levezetését a következő fejezetek egyikében adjuk meg.

Építsünk most egy piramist más módon. Legyen adott egy poliéder szög, például ötszög, S csúcsú (ábra).

Rajzoljunk egy síkot Rúgy, hogy egy adott poliéderszög összes élét bemetszi különböző pontokat A, B, C, D, E (ábra). Ekkor a SABCDE piramist úgy tekinthetjük, mint egy poliéder szög és egy féltér metszéspontját a határvonallal. R, amelyben az S csúcs található.

Nyilvánvaló, hogy a piramis összes lapjának száma tetszőleges lehet, de nem kevesebb, mint négy. Ha egy háromszögű szög metszi a síkot, háromszög alakú piramist kapunk, amelynek négy oldala van. Bármilyen háromszög alakú piramist néha hívnak tetraéder, ami tetraédert jelent.

Csonka piramis akkor kaphatunk, ha a gúlát az alap síkjával párhuzamos sík metszi.

ábrán. Négyszögletű csonka gúla képe látható.

Csonka piramisokat is neveznek háromszög, négyszög, n-szögű az alap oldalainak számától függően. A csonka piramis felépítéséből az következik, hogy két alapja van: felső és alsó. A csonka gúla alapjai két sokszög, amelyek oldalai páronként párhuzamosak. A csonka gúla oldallapjai trapéz alakúak.

Magasság a csonka gúla a felső alap bármely pontjából az alsó síkjára húzott merőleges szakasz.

Szabályos csonka piramis a szabályos gúla alapja és az alappal párhuzamos metszetsík közé zárt részét nevezzük. A szabályos csonka gúla (trapéz) oldallapjának magasságát ún apotém.

Bebizonyítható, hogy egy szabályos csonka gúlának egybevágó oldalélei vannak, minden oldallapja egybevágó, és minden apotéma egybevágó.

Ha a megfelelő csonka n-szénpiramison keresztül AÉs b n jelölje meg a felső és az alsó alap oldalainak hosszát, valamint az átmenőt h az apotém hossza, akkor a piramis minden oldallapjának területe egyenlő

1 / 2 (A + b n) h

A piramis összes oldalsó felületének területeinek összegét az oldalfelületének területének nevezzük, és S oldalnak nevezzük. . Nyilvánvalóan egy helyes csonka n-szénpiramis

S oldal = n 1 / 2 (A + b n) h.

Mert pa= P és nb n= P 1 - a csonka gúla alapjainak kerületei, akkor

S oldal = 1/2 (P + P 1) h,

azaz egy szabályos csonka gúla oldalfelületének területe egyenlő az alapjai kerülete és az apotém összegének a felével.

A gúla alapjával párhuzamos metszet

1) az oldalsó bordákat és a magasságot arányos részekre osztják;

2) a keresztmetszetben az alaphoz hasonló sokszöget kapsz;

3) a keresztmetszeti területek és az alapok a felülről való távolságuk négyzeteiként viszonyulnak egymáshoz.

Elég bebizonyítani a tételt egy háromszög piramisra.

Mivel a párhuzamos síkokat párhuzamos egyenesek mentén egy harmadik sík metszi, akkor (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (ábra).

A párhuzamos egyenesek egy szög oldalait arányos részekre vágják, és ezért

$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\right| )=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

Ezért a ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 és

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1) )\right|) $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 és

$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1) )\right|)=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

És így,

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_) (1)C_1)\right|)=\frac(\left|(AC)\right|)(\left|(A_(1)C_1)\right|) $$

Az ABC és A 1 B 1 C 1 háromszögek megfelelő szögei egybevágóak, mint a párhuzamos és azonos oldalú szögek. Ezért

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

A hasonló háromszögek területei a megfelelő oldalak négyzeteiként vannak összefüggésben:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SH)\right|)(\left|(SH_1) )\right|) $$

Ennélfogva,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

Tétel. Ha két azonos magasságú gúlát a tetejétől azonos távolságra az alapokkal párhuzamos síkok vágnak, akkor a szakaszok területei arányosak az alapok területével.

Legyen (84. ábra) B és B 1 két piramis alapterülete, H mindegyik gúla magassága, bÉs b 1 - metszetterületek az alapokkal párhuzamos és a csúcsoktól azonos távolságra lévő síkokkal h.

Az előző tétel szerint a következőket kapjuk:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: és \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
ahol
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: vagy \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Következmény. Ha B = B 1, akkor b = b 1, azaz Ha két egyenlő magasságú piramis alapja egyenlő, akkor a tetejétől egyenlő távolságra lévő szakaszok is egyenlőek.

Piramis koncepció

1. definíció

Azt a geometriai alakzatot, amelyet egy sokszög és egy, a sokszöget tartalmazó síkban nem fekvő, a sokszög összes csúcsához kapcsolódó pont alkot, piramisnak nevezzük (1. ábra).

Azt a sokszöget, amelyből a gúla készül, a gúla alapjának nevezzük, a ponthoz kapcsolva kapott háromszögek a gúla oldallapjai, a háromszögek oldalai a gúla oldalai, és a közös mindennél háromszögek pont – felső piramisok.

A piramisok típusai

A piramis alapjában lévő szögek számától függően nevezhetjük háromszögnek, négyszögnek és így tovább (2. ábra).

2. ábra.

A piramisok másik típusa a szabályos piramis.

Mutassuk be és bizonyítsuk be egy szabályos piramis tulajdonságát.

1. tétel

A szabályos piramis minden oldallapja egyenlő szárú háromszög, amelyek egyenlőek egymással.

Bizonyíték.

Tekintsünk egy szabályos $n-$gonális piramist, amelynek $S$ csúcsa $h=SO$ magasságú. Rajzoljunk kört az alap köré (4. ábra).

4. ábra.

Tekintsük a $SOA$ háromszöget. A Pitagorasz-tétel szerint azt kapjuk

Nyilvánvaló, hogy minden oldalél így lesz meghatározva. Következésképpen minden oldalél egyenlő egymással, vagyis minden oldallap egyenlő szárú háromszög. Bizonyítsuk be, hogy egyenlőek egymással. Mivel az alap szabályos sokszög, az összes oldallap alapja egyenlő egymással. Következésképpen minden oldallap egyenlő a háromszögek egyenlőségének III. kritériuma szerint.

A tétel bizonyítást nyert.

Vezessük be a következő definíciót a szabályos piramis fogalmához kapcsolódóan.

3. definíció

A szabályos piramis apotémája az oldallap magassága.

Nyilvánvaló, hogy az 1. tétel szerint minden apotém egyenlő egymással.

2. tétel

A szabályos gúla oldalfelületét az alap és az apotém fél kerületének szorzataként határozzuk meg.

Bizonyíték.

Jelöljük a $n-$gonális piramis alapjának oldalát $a$-tal, az apotémet pedig $d$-val. Ezért az oldalfelület területe egyenlő

Mivel az 1. Tétel szerint minden oldal egyenlő, akkor

A tétel bizonyítást nyert.

A piramisok másik típusa a csonka piramis.

4. definíció

Ha az alapjával párhuzamos síkot áthúzunk egy közönséges piramison, akkor az e sík és az alap síkja között kialakuló alakzatot csonka gúlának nevezzük (5. ábra).

5. ábra Csonka gúla

A csonka gúla oldallapjai trapéz alakúak.

3. tétel

A szabályos csonka gúla oldalfelületét az alapok fél kerületének és az apotémának a szorzataként határozzuk meg.

Bizonyíték.

Jelöljük a $n-$gonális piramis alapjainak oldalait rendre $a\ és\ b$, az apotémet pedig $d$-val. Ezért az oldalfelület területe egyenlő

Mivel minden oldal egyenlő, akkor

A tétel bizonyítást nyert.

Példa feladat

1. példa

Határozza meg egy csonka háromszög alakú gúla oldalfelületének területét, ha azt egy szabályos gúlából kapjuk, amelynek alapoldala 4 és apotém 5, az oldallapok középvonalán áthaladó sík levágásával.

Megoldás.

A középvonal-tételt használva azt találjuk, hogy a csonka piramis felső alapja $4\cdot \frac(1)(2)=2$, az apotém pedig $5\cdot \frac(1)(2) = 2,5 $.

Ekkor a 3. Tétel alapján azt kapjuk